堀田量子 y'方向のスピンの測定確率

要約

入門・現代の量子力学（堀田量子）の1章の図1.6において、y'軸方向のスピンが $+1$ 、$-1$ となる確率 をそれぞれ求めてみた。

方法1

堀田量子のp.7 の (1.2)、(1.3)式を使う方法。

(1.2)式と(1.3)式を復習すると、$z$ 軸方向のスピン $+1$ 状態の粒子を、 $z'$ 軸方向のスピン を $+1$ と観測する確率 $P_{+z'}(\theta)$ と $z'$ 軸方向のスピン を $-1$ と観測する確率 $P_{-z'}(\theta)$ は、それぞれ

$$ P_{+z'} (\theta) = \cos^2 \frac{ \theta } {2} \tag{1.2} $$

$$ P_{-z'} (\theta) = \sin^2 \frac{ \theta } {2} \tag{1.3} $$

となるとのこと。

そのため、$y'$軸方向のスピン を $+1$ と観測する確率 $P_{+y'} (\theta) $、 $y'$軸方向のスピンを $-1$ と観測する確率 $P_{-y'} (\theta) $ は、 $P_{\pm z'} (\theta) $の$\theta$を$\theta + \pi/2$と 読み替えれば良いので、

\begin{aligned} P_{+y'} (\theta) & = P_{+z'} \left(\theta + \frac{\pi}{2} \right) \\ & = \cos^2 \left( \frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4} \right) \\ & = \frac{1}{2} \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) + \frac{1}{2} \\ & = \frac{1 - \sin \theta}{2} \end{aligned}

同様に、 \begin{aligned} P_{-y'} (\theta) & = P_{-z'} \left(\theta + \frac{\pi}{2} \right) \\ & = \,\, ... \\ & = \frac{1 + \sin \theta}{2} \end{aligned}

方法2

堀田量子の (2.40) 式を使う。

1章の座標系だと、粒子はx軸方向に進んでいて、z軸は極角 $\theta = \pi/2$・方位角$\phi = 0$であり、y軸は極角 $\theta = \pi/2$・方位角 $\phi = - \pi/2$ と なっている。

2章の座標系だと、粒子はz軸方向に進んでいて、x軸は極角 $\theta = \pi/2$・方位角 $ \phi =0$であり、y軸は極角 $\theta = \pi/2$・方位角 $\phi = \pi/2$ と 考えれば、１章の 座標系と読み替えやすい。

いま、2章の座標系で考えて、z方向に進んでいる粒子が、$y$方向にスピン $+1$ を持っている場合、そのケットベクトル $| u_+ \rangle $ は

$$ | u_+ \rangle = e^{i\delta} \pmatrix{ -i \cos \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} } $$

一方、x軸から 方位角を$-\theta$ 方向(つまり、x軸をy軸の負の向きに$\theta$ずらした方向) にスピン $+1$を持っている粒子の ケットベクトル $ | \psi_+ \rangle $は

$$ | \psi _+ \rangle = e^{i\delta} \pmatrix{ e^{i\theta} \cos \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} } $$

よって、その確率振幅は

\begin{aligned} \langle u_+ | \psi_+ \rangle & = \pmatrix{ i \cos\frac{\pi}{4} && \sin \frac{ \pi }{4} } \pmatrix{ e^{i\theta} \cos \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} } \\ & = \frac{i e^{i \theta} + 1}{2} \end{aligned}

よって、1章の座標系でいうところの、y' 軸方向+1のスピンを見つける確率は $P_{+y'}(\theta)$ は

\begin{aligned} P_{+y'}(\theta) & = | \langle u_+ | \psi_+ \rangle |^2 \\ & = \frac{1}{4} \left\{ (1- \sin\theta)^2 + \cos^2 \theta \right\} \\ & = \frac{1}{2} ( 1 - \sin\theta ) \end{aligned}

$P_{+y'}(\theta) + P_{-y'}(\theta) = 1$ より

$$ P_{-y'}(\theta) = \frac{1}{2} ( 1 + \sin \theta ) $$

y'方向のスピンの期待値

上記より、z方向にスピン $+1$ の粒子 $| \psi_+ \rangle$ の、y'方向のスピンの期待値は

\begin{aligned} \langle σ_{y'} \rangle & = +1 P_{+y'} (\theta) + (-1) P_{-y'} (\theta) \\ & = \frac{1}{2} ( 1 - \sin \theta) - \frac{1}{2} ( 1 + \sin \theta ) \\ & = - \sin \theta \end{aligned}

これは、 $y'$方向の単位ベクトル $\vec{n} = (0, \cos \theta,-\sin \theta)$ と スピン期待値のベクトル $\langle \vec{σ} \rangle = (0,0,1)$の内積

$$ \vec{n} \cdot \langle \vec{σ} \rangle = - \sin \theta $$

と（予想通り）等しくなった。

(堀田量子のp.18の議論を、$\vec{n}=(0, \cos \theta,-\sin \theta)$について確認したということ)