イデアルの拡大 Atiyah-MacDonald 演習問題 1.18 (4)

Atiyah-Macdonald 演習問題 1.18は、10個の式が載っていますが、その一つ、

$$ ({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e \subseteq ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e) $$

を解いてみます。

念のため、記号の定義をふりかえっておくと、次のようになっています。

定義： イデアル商

可換環 $A$ のイデアル ${\frak a}, {\frak b}$に対するイデアル商 $ ( {\frak a} : {\frak b} ) $は

$$ ( {\frak a} : {\frak b} ) = \{ x \in A \, : \, x {\frak b} \subseteq {\frak a} \} $$

定義： イデアルの拡大

$f : A \to B$ を環準同型写像とし、 ${\frak a}$ を $A$ のイデアルとすると、${\frak a}$ の拡大 ${\frak a}^e$ とは $B f({\frak a})$ で生成されたイデアル。すなわち、

$$ \sum_{i} y_i f(x_i) \hspace{1em} \hbox{where} \hspace{1em} y_i \in B , \, x_i \in {\frak a} $$

で記述出来る集合全体。

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証明：$({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e \subseteq ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e)$

まず $y$ を

$$ y \in ({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e $$

とすると、イデアルの拡大の定義より

$$ y = \sum_{i} y_i f(x_i) \hspace{1em} \hbox{where} \hspace{1em} y_i \in B , \, x_i \in ({\frak a}_1 : {\frak a}_2) $$

とかける。

次に、$z \in {\frak a}_2^e$とすると、$z$は

$$ z = \sum_{j} w_j f(v_j) \hspace{1em} \hbox{where} \hspace{1em} w_j \in B, \, v_j \in {\frak a}_2 $$

とかけるので、

\begin{eqnarray*} yz & = & \sum_{i} y_i f(x_i) z \\ & = & \sum_{i,j} y_i w_j f(x_i) f(v_j) \\ & = & \sum_{i,j} y_i w_j f(x_i v_j) \\ & = & \sum_{k} \tilde{y}_k f( \tilde{x}_k )
\end{eqnarray*}

となる。ここで、3つ目の等号で$f$が環準同型写像であることを使い、最後の等号ではそれぞれ

\begin{eqnarray*} k & = & (i,j) \\ \tilde{y}_k & = & y_i w_j \,\, \in B \\ \tilde{x}_k & = & x_i v_j \end{eqnarray*}

とした。$\tilde{x}_k$ は、 $x_i \in ( {\frak a}_1 \,:\, {\frak a}_2 )$ と $v_j \in {\frak a}_2 $ に注意すれば

$$ \tilde{x}_k = x_i v_j \in {\frak a}_1 $$

となるので、

$$ yz = \sum_{k} \tilde{y}_k f( \tilde{x}_k ) \in {\frak a}_1^e $$

が成り立つ。つまり

$$ y {\frak a}_2^e \subseteq {\frak a}_1^e $$

が成り立つので、イデアル商の定義より、

$$ y \in ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e) $$

が成り立つ。

以上より、$ y \in ({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e$ であれば、$y \in ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e)$ であることが示されたので、

$$ ({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e \subseteq ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e) $$

が証明された。